الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & - 1 \\ 0 & 4 & - 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

خطوة 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.1.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

اضرب $4$ في $2$ .

$a_{11} = 8 + 0 \cdot - 1$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$a_{11} = 8 + 0$

خطوة 2.1.2.2.2

أضف $8$ و $0$ .

$a_{11} = 8$

خطوة 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.2.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 0 \cdot 2 - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.2.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$a_{12} = 0 - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$a_{12} = 0 + 1$

خطوة 2.2.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$a_{12} = 1$

خطوة 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 2.3.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 2.3.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

اضرب $0$ في $0$ .

$a_{13} = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$a_{13} = 0 - 4$

خطوة 2.3.2.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$a_{13} = - 4$

خطوة 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.4.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot 2 + 0 \cdot - 1$

خطوة 2.4.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$a_{21} = 0 + 0 \cdot - 1$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$a_{21} = 0 + 0$

خطوة 2.4.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$a_{21} = 0$

خطوة 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

خطوة 2.5.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1.1

اضرب $4$ في $2$ .

$a_{22} = 8 - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.5.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$a_{22} = 8 + 1$

خطوة 2.5.2.2.2

أضف $8$ و $1$ .

$a_{22} = 9$

خطوة 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 2.6.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 4 \cdot 0 - 1 \cdot 0$

خطوة 2.6.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

اضرب $4$ في $0$ .

$a_{23} = 0 - 1 \cdot 0$

خطوة 2.6.2.2.2

اطرح $0$ من $0$ .

$a_{23} = 0$

خطوة 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

خطوة 2.7.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot - 1 - 4 \cdot - 1$

خطوة 2.7.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$a_{31} = 0 - 4 \cdot - 1$

خطوة 2.7.2.2.1.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$a_{31} = 0 + 4$

خطوة 2.7.2.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$a_{31} = 4$

خطوة 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

خطوة 2.8.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 4 \cdot - 1 + 0 \cdot - 1$

خطوة 2.8.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$a_{32} = - 4 + 0 \cdot - 1$

خطوة 2.8.2.2.1.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$a_{32} = - 4 + 0$

خطوة 2.8.2.2.2

أضف $- 4$ و $0$ .

$a_{32} = - 4$

خطوة 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} |$

خطوة 2.9.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 4 \cdot 4 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.9.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$a_{33} = 16 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.9.2.2.1.2

اضرب $0$ في $0$ .

$a_{33} = 16 + 0$

خطوة 2.9.2.2.2

أضف $16$ و $0$ .

$a_{33} = 16$

خطوة 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 8 & - 1 & - 4 \\ 0 & 9 & 0 \\ 4 & 4 & 16 \end{array}]$